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<!DOCTYPE html>

<title>Pythagoras-Baum</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Pythagoras-Baum</h1>

</header>

</div>

Ein Pythagoras-Baum ist eine besondere Art eines <a href="Fraktal" title="Fraktal">Fraktals</a>. Das ursprüngliche Verfahren zum Erstellen eines Pythagoras-Baums basiert auf dem <a href="Satz_des_Pythagoras" title="Satz des Pythagoras">Satz des Pythagoras</a>, in dem auf ein <a href="Quadrat_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Quadrat (Geometrie)">Quadrat</a> zwei weitere, kleinere Quadrate im <a href="Rechter_Winkel" title="Rechter Winkel">rechten Winkel</a> angeordnet werden. Durch <a href="Rekursion" title="Rekursion">rekursives</a> Aufrufen dieser Konstruktionsvorschrift wird ein Fraktal erzeugt, das im Grenzfall der Form eines Baumes ähnelt. Durch den <a href="Rechter_Winkel" title="Rechter Winkel">rechten Winkel</a> des eingeschlossenen <a href="Dreieck" title="Dreieck">Dreiecks</a> bleibt die Gesamtfläche jeder Ebene gleich, daher ist die Fläche des Grundelementes (Stammes) genau so groß wie die <a href="Summe" title="Summe">Summe</a> der <a href="Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Fläche</a> aller äußeren Elemente (Blätter).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Konstruktion">Konstruktion</h2></div>

<td> Bild 1

</td>

<td> Bild 2

</td></tr>

<tr>

<td> Bild 3

</td>

<td> Bild 4

</td></tr></tbody></table>

Aus einer Grundlinie wird ein <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrat</a> konstruiert. Auf diesem Grundelement (Stamm) wird auf der Oberseite ein <a href="Thaleskreis" class="mw-redirect" title="Thaleskreis">Thaleskreis</a> gezeichnet und dieser beliebig geteilt. Der entstehende <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a> wird mit dem Grundelement verbunden (Bild 1), so dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Aus den beiden entstandenen Schenkeln des <a href="Dreieck" title="Dreieck">Dreiecks</a> wird wieder jeweils ein Quadrat konstruiert (Bild 2), ein Thaleskreis aufgezeichnet, dieser geteilt, ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert (Bild 3) und so wieder zu einem Quadrat erweitert (Bild 4). Dieser Vorgang wird beliebig oft wiederholt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Symmetrischer_Pythagoras-Baum">Symmetrischer Pythagoras-Baum</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Berechnungen">Berechnungen</h3></div>

Im Folgenden sei die Seitenlänge des ersten <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrats</a> (dem „Stamm“) gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">. Wenn die <a href="Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a> des ersten <a href="Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">rechtwinkligen Dreiecks</a> gleich 45°, 45° und 90°, die Seitenlängen also gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a}">

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5764f2d5e37a7e8d32cc0be0dda663ee7a2b5ea1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:5.936ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a}">

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5764f2d5e37a7e8d32cc0be0dda663ee7a2b5ea1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:5.936ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> sind, ist der Pythagoras-Baum <a href="Symmetrie_(Geometrie)" title="Symmetrie (Geometrie)">symmetrisch</a>. Die <a href="Symmetrieachse" class="mw-redirect" title="Symmetrieachse">Symmetrieachse</a> ist die <a href="Mittelsenkrechte" title="Mittelsenkrechte">Mittelsenkrechte</a> der <a href="Hypotenuse" class="mw-redirect" title="Hypotenuse">Hypotenuse</a> des ersten <a href="Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">rechtwinkligen</a> und <a href="Gleichschenkliges_Dreieck" title="Gleichschenkliges Dreieck">gleichschenkligen Dreiecks</a>.

Höhe des ersten Astes beträgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c44397d5336df5910481cf6f39854702b79a08c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.071ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot a}" loading="lazy"> (siehe Abbildung). Um die maximale Höhe zu ermitteln, genügt es Äste der abgebildeten Form aufeinander zu stellen. Jeder Ast hat die halbe Grundseite des vorigen Astes. Damit ist die Höhe des zweiten Astes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">, die des dritten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {a}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {a}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/208e647a356342f98a850d4839a4a6a6ea26e728.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.706ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {a}{2}}}" loading="lazy"> usw. Die Gesamthöhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> beträgt damit:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=2\cdot a+a+{\frac {a}{2}}+{\frac {a}{4}}+{\frac {a}{8}}+\ldots =2\cdot a\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\ldots \right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26b09bc0256053638ffe4d2e2e8f4ea696b74c34.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:65.083ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle h=2\cdot a+a+{\frac {a}{2}}+{\frac {a}{4}}+{\frac {a}{8}}+\ldots =2\cdot a\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\ldots \right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Also ergibt sich mithilfe der <a href="Geometrische_Reihe" title="Geometrische Reihe">geometrischen Reihe</a>:<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=2\cdot a\cdot \sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{i}=2\cdot a\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=4\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29af30d9d315c9ba04543e2c230371fbd9ae889b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:42.665ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle h=2\cdot a\cdot \sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{i}=2\cdot a\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=4\cdot a}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Breite">Breite</h3></div>

Der linke Ast entspricht einem querliegenden Baum mit der Grundseite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d35c566e3fd9f60034351384f59e544152596cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:2.066ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a}{2}}}" loading="lazy">. Ebenso der rechte Ast. In der Mitte bleibt ein Stamm mit der Breite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und den beiden Hauptästen mit jeweils der Breite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d35c566e3fd9f60034351384f59e544152596cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:2.066ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a}{2}}}" loading="lazy">. Die Breite beträgt also<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a>

<mfrac>

</mfrac>

</munder>

</mrow>

<mtr>

<mtd>

<mtext>Höhe linker</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mtext>querliegender Baum</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

</mfrac>

</munder>

</mrow>

<mtr>

<mtd>

<mtext>Höhe rechter</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mtext>querliegender Baum</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \underbrace {\frac {h}{2}} _{\begin{array}{c}\scriptstyle {\text{Höhe linker}}\\\scriptstyle {\text{querliegender Baum}}\end{array}}+\underbrace {\frac {h}{2}} _{\begin{array}{c}\scriptstyle {\text{Höhe rechter}}\\\scriptstyle {\text{querliegender Baum}}\end{array}}+a+{\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}={\frac {4\cdot a}{2}}+{\frac {4\cdot a}{2}}+a+{\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}=6\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6312cd4994fbbaee346971b094530b7caf36442.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.838ex; width:83.843ex; height:12.343ex;" alt="{\displaystyle \underbrace {\frac {h}{2}} _{\begin{array}{c}\scriptstyle {\text{Höhe linker}}\\\scriptstyle {\text{querliegender Baum}}\end{array}}+\underbrace {\frac {h}{2}} _{\begin{array}{c}\scriptstyle {\text{Höhe rechter}}\\\scriptstyle {\text{querliegender Baum}}\end{array}}+a+{\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}={\frac {4\cdot a}{2}}+{\frac {4\cdot a}{2}}+a+{\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}=6\cdot a}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stammlänge">Stammlänge</h3></div>

Zur Berechnung der Stammlänge (siehe rote Linien in der Abbildung) müssen die Seitenlängen der <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrate</a> addiert werden:

<ol><li>Quadrat: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{0}\cdot a=a}">

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{0}\cdot a=a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10d2a87849c9a9db64c94e1e0917fc677d733ebb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:15.647ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{0}\cdot a=a}" loading="lazy"></li>

<li>Quadrat: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{1}\cdot a={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a}">

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{1}\cdot a={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c532ff9e4a190cf870c8663981161bd38aa5795b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.261ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{1}\cdot a={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a}" loading="lazy"></li>

<li>Quadrat: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}\cdot a={\frac {1}{2}}\cdot a}">

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}\cdot a={\frac {1}{2}}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b9ee8ffffc4fdadbec8644305a1f298888ff401.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.325ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}\cdot a={\frac {1}{2}}\cdot a}" loading="lazy"></li>

<li>Quadrat: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{3}\cdot a={\frac {\sqrt {2}}{4}}\cdot a}">

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{3}\cdot a={\frac {\sqrt {2}}{4}}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/824496fcf68389ca412aa6df09eac9b746d5ff01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.261ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{3}\cdot a={\frac {\sqrt {2}}{4}}\cdot a}" loading="lazy"></li></ol>

usw.

Es kommt immer der Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}}">

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/237be03ea5cb4b867efe72f2563445d078776e1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.027ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}}" loading="lazy"> hinzu. Wenn man die Nummerierung bei 0 beginnt, ist die Seitenlänge des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">-ten Quadrats gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}})^{i}\cdot a}">

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}})^{i}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/342391cbd7f3cc813439e1a0c3cee233aa3464d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:8.545ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}})^{i}\cdot a}" loading="lazy">. Die Gesamtlänge der roten Linien beträgt also:

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot \sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{i}=a\cdot {\frac {1}{1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}}={\frac {2\cdot a}{2-{\sqrt {2}}}}=a\cdot \left(2+{\sqrt {2}}\right)\approx 3{,}414\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8aa52a8c3da5c1e9caf81596cf98c34a5645951f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:66.258ex; height:8.343ex;" alt="{\displaystyle a\cdot \sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{i}=a\cdot {\frac {1}{1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}}={\frac {2\cdot a}{2-{\sqrt {2}}}}=a\cdot \left(2+{\sqrt {2}}\right)\approx 3{,}414\cdot a}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Länge_der_Baumkrone">Länge der Baumkrone</h3></div>

Zur Berechnung der Länge der Baumkrone (siehe blaue Linien in der Abbildung) zuerst folgende Überlegungen: In die <a href="Ecke" title="Ecke">Ecken</a> des Baumes kommt man, indem man die Äste abwechselnd links und rechts entlanggeht. Um die Länge der oberen horizontalen Linie zu berechnen, wird zuerst die Abweichung von der Stammmittellinie, die durch das Wachstum eines Rechts-links-Astes entsteht, berechnet.

<th>

</th>

<th>Grundseite

</th>

<th>Abstand von der Mittellinie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy">

</th></tr>

<tr>

<td>Erste Rechts-links-Kombination (Quadrat, Dreieck, Quadrat, Dreieck – in der Abbildung gestrichelt)

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}={\frac {a}{2}}+{\frac {a}{4}}={\frac {3}{4}}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8512042002f2d6e2cf87e3aa0605dd1fe94431a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:20.461ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle x_{1}={\frac {a}{2}}+{\frac {a}{4}}={\frac {3}{4}}\cdot a}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>Zweite Rechts-links-Kombination (in der Abbildung gepunktet)

</td>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d35c566e3fd9f60034351384f59e544152596cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:2.066ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a}{2}}}" loading="lazy">

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {a}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e25b39c924f5a6e1a4f846ef6993890d2f1bb28b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.226ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle x_{2}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {a}{2}}}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>Dritte Rechts-links-Kombination

</td>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{4}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6811b11ce38d4a6b6a59acaec557fc23c839554.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:2.066ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a}{4}}}" loading="lazy">

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{3}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {a}{4}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c788814cd7934cd99adf419294d76a19dfafffd1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.226ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle x_{3}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {a}{4}}}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>i-te Rechts-links-Kombination

</td>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{i}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03528ff3a391d09e0aae08cb852ae3d6532b34f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:9.128ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{i}\cdot a}" loading="lazy">

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}={\frac {3}{4}}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{i}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d989a4750cfd06f117ede95ec224cbe751417b54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:18.034ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle x_{i}={\frac {3}{4}}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{i}\cdot a}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table>

Der maximale <a href="Abstand" title="Abstand">Abstand</a> der letzten Spitze von der ersten Mittellinie ist dann die <a href="Summe" title="Summe">Summe</a> der einzelnen Abstände:

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {3}{4}}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{i}\cdot a={\frac {3}{4}}\cdot a\cdot \sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{i}={\frac {3}{4}}\cdot a\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {3}{2}}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ca44f2e0bcc617acebae8fe0d8c7838dda9d03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:60.383ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {3}{4}}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{i}\cdot a={\frac {3}{4}}\cdot a\cdot \sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{i}={\frac {3}{4}}\cdot a\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {3}{2}}\cdot a}" loading="lazy"></dd></dl>

Ein Links-rechts-Ast hat also den maximalen <a href="Abstand" title="Abstand">Abstand</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\cdot a}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d9afce8968706138204f2560fe7900ea32fcb74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:4.567ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\cdot a}" loading="lazy"> von der ersten Mittellinie. Das Gleiche gilt für den gespiegelten Rechts-links-Ast. Die beiden oberen <a href="Ecke" title="Ecke">Ecken</a> haben also den maximalen Abstand von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot {\tfrac {3}{2}}\cdot a=3\cdot a}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot {\tfrac {3}{2}}\cdot a=3\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81931f2e2175e04a1e226813656baf8da8471a1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:14.578ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot {\tfrac {3}{2}}\cdot a=3\cdot a}" loading="lazy">. Dies ist die Länge der oberen horizontalen blauen Linie.

Die Längen der anderen blauen Linien kann man leicht berechnen. Die zweite blaue Linie entspricht der oberen horizontalen Line des Hauptbaumes usw.

<th>

</th>

<th>Grundseite Baum

</th>

<th>Länge

</th></tr>

<tr>

<td>Erste blaue Linie

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/544c1d674d8570729ba018abb7585935a30d5d15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.071ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3\cdot a}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>Zweite blaue Linie

</td>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc175bb55bf545a8cc054eae2e8782001caffa41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.843ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a}" loading="lazy">

</td>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2048c4de44beb6b685d2637900a39b4f010d62be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.685ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle 3\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>Dritte blaue Linie

</td>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a768436a90ae68a481e2aa905271916dcf2666ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:11.319ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}\cdot a}" loading="lazy">

</td>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\cdot \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a852b35e908880d3f2a2e51b5eec6b4a7cc8ccb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:14.16ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle 3\cdot \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}\cdot a}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>i-te blaue Linie

</td>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{i}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b0c19fd33710a07388e88e637f7593bbc2e854d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:11.064ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{i}\cdot a}" loading="lazy">

</td>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\cdot \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{i}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59011faae5e622ea4d34e10825e5c52c8af0346c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.906ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle 3\cdot \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{i}\cdot a}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table>

Jede blaue Linie ist dreimal so lang wie die zugehörige rote Linie. Damit ist auch die Gesamtlänge der blauen Linie das Dreifache der roten Linie: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3\cdot a\cdot \left(2+{\sqrt {2}}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\cdot a\cdot \left(2+{\sqrt {2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e84f971733c12c28be958f076b2e409f642cc2fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.981ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle 3\cdot a\cdot \left(2+{\sqrt {2}}\right)}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Umfang">Umfang</h3></div>

Wenn man den Baum einmal umrunden möchte, muss man zweimal die blaue und zweimal die rote Linie und die Linie, auf der der Baum steht, entlanggehen. Die obere blaue Linie ist hierbei doppelt, diese muss man also einmal abziehen:

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</munder>

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtr>

<mtd>

<mtext>doppelt gerechnete</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mtext>obere horizontale</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mtext>Firstlinie</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</munder>

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext>Grundlinie</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot \underbrace {3\cdot a\cdot \left(2+{\sqrt {2}}\right)} _{\scriptstyle {\text{blau}}}\underbrace {-3\cdot a} _{\begin{array}{c}\scriptstyle {\text{doppelt gerechnete}}\\\scriptstyle {\text{obere horizontale}}\\\scriptstyle {\text{Firstlinie}}\end{array}}+2\cdot \underbrace {a\cdot \left(2+{\sqrt {2}}\right)} _{\scriptstyle {\text{rot}}}\underbrace {+a} _{\scriptstyle {\text{Grundlinie}}}=2\cdot a\cdot \left(7+4{\sqrt {2}}\right)\approx 25{,}313\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d935884e9d56a7b9fd9712c99eaac73b4f4f0432.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.505ex; width:89.354ex; height:11.843ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot \underbrace {3\cdot a\cdot \left(2+{\sqrt {2}}\right)} _{\scriptstyle {\text{blau}}}\underbrace {-3\cdot a} _{\begin{array}{c}\scriptstyle {\text{doppelt gerechnete}}\\\scriptstyle {\text{obere horizontale}}\\\scriptstyle {\text{Firstlinie}}\end{array}}+2\cdot \underbrace {a\cdot \left(2+{\sqrt {2}}\right)} _{\scriptstyle {\text{rot}}}\underbrace {+a} _{\scriptstyle {\text{Grundlinie}}}=2\cdot a\cdot \left(7+4{\sqrt {2}}\right)\approx 25{,}313\cdot a}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Abstand_zum_Rasen">Abstand zum Rasen</h3></div>

Damit man mit dem Rasenmäher bis zum Stamm fahren kann, muss man wissen, wie hoch die lichte Höhe unter dem Blattwerk des Baumes ist. Wie groß ist der <a href="Abstand" title="Abstand">Abstand</a> der ersten Blätter zum Rasen?

Bei einer Grundseite von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ist die Gesamtbreite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6\cdot a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/729032d1a6bca0afbb194018a8a9773ddc604f63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.071ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 6\cdot a}" loading="lazy">. Eine Seite des Baumes steht also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {5}{2}}\cdot a}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {5}{2}}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/223e6190aa765a7821d8c244eae0930fece5abbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:4.567ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {5}{2}}\cdot a}" loading="lazy"> über den Stamm hinaus (siehe grüne Linie in der Abbildung). Zur Berechnung der gesuchten lichten Höhe betrachtet man den dritten Ast, den ersten horizontal wachsenden Ast (das dritte <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrat</a>). Die Grundseite dieses Teilbaumes beträgt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {a}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {a}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/208e647a356342f98a850d4839a4a6a6ea26e728.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.706ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {a}{2}}}" loading="lazy">. Die Breite dieses Teilastes ist also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6\cdot {\tfrac {a}{2}}=3\cdot a}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6\cdot {\tfrac {a}{2}}=3\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e167f4d62287b1dba35fbf3bcd110c9612a857b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.717ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 6\cdot {\tfrac {a}{2}}=3\cdot a}" loading="lazy"> . Auch bei diesem Ast steht die Krone um den Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {5}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {5}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d69a3cdfb9c363bacb099c235f1f34f2dbe5b3c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.658ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {5}{2}}}" loading="lazy"> über, also: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {5}{2}}\cdot {\tfrac {a}{2}}={\tfrac {5}{4}}\cdot a}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {5}{2}}\cdot {\tfrac {a}{2}}={\tfrac {5}{4}}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42b71d08610541a64717ed5839f211ac9a2f990e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:12.708ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {5}{2}}\cdot {\tfrac {a}{2}}={\tfrac {5}{4}}\cdot a}" loading="lazy">. Dieser dritte Teilast hat einen Abstand vom Rasen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\cdot a}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d9afce8968706138204f2560fe7900ea32fcb74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:4.567ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\cdot a}" loading="lazy">. Die lichte Höhe ist dann die Differenz: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\cdot a-{\tfrac {5}{4}}\cdot a={\tfrac {a}{4}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\cdot a-{\tfrac {5}{4}}\cdot a={\tfrac {a}{4}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49bad192f1e979ee4299dfc4a7d0a89913bd72ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:16.779ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\cdot a-{\tfrac {5}{4}}\cdot a={\tfrac {a}{4}}}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeiner_Pythagoras-Baum">Allgemeiner Pythagoras-Baum</h2></div>

Beim allgemeinen Pythagoras-Baum werden jeweils beliebige, aber <a href="Kongruenz_(Geometrie)" title="Kongruenz (Geometrie)">kongruente</a> <a href="Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">rechtwinklige Dreiecke</a> auf die <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrate</a> gesetzt. Im Folgenden sei die Länge der <a href="Hypotenuse" class="mw-redirect" title="Hypotenuse">Hypotenuse</a> des ersten Quadrats des allgemeinen gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">, die Längen der <a href="Kathete" class="mw-redirect" title="Kathete">Katheten</a> gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbf42ecda092975c9c69dae84e16182ba5fe2e07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/270580da7333505d9b73697417d0543c43c98b9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{2}}" loading="lazy"> und die gegenüberliegenden <a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a> gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d69430689b8aac2832684109cde587c4ae828d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.542ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aef5f08a56f51deb324e5eed2fb9b2e3c279889d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.542ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{2}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Flächeninhalt">Flächeninhalt</h3></div>

Der <a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> der <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrate</a>, die bei jedem <a href="Iteration" title="Iteration">Iterationsschritt</a> zum Pythagoras-Baum hinzugefügt werden, sind nach dem <a href="Satz_des_Pythagoras" title="Satz des Pythagoras">Satz des Pythagoras</a> gleich groß. Der gesamte Flächeninhalt des Pythagoras-Baums inklusive der Überlappungen ist also <a href="Unendlichkeit" title="Unendlichkeit">unendlich</a> groß. Die Breite und Höhe des Pythagoras-Baums sind endlich, weil sich der <a href="Abstand" title="Abstand">Abstand</a> jedes Quadrats zum vorherigen Quadrat um einen konstanten Faktor verkleinert. Der überdeckte Flächeninhalt ohne Überlappungen ist also auch endlich.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Umfang_2">Umfang</h3></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> der <a href="Umfang_(Geometrie)" title="Umfang (Geometrie)">Umfang</a> des Pythagoras-Baums, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc9e7f892894bc50c32ce1b9f9a68a15562146ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.642ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U_{1}}" loading="lazy"> der Umfang des rechten Teilbaums und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/590fa6a550fbe2866a28243a733d54245d218b9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.642ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U_{2}}" loading="lazy"> der Umfang des linken Teilbaums – jeweils ohne die untere Seite des ersten <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrats</a>, dann gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U_{1}+U_{2}+2\cdot a=U}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{1}+U_{2}+2\cdot a=U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fe694789b26b9b9c1893aa9729649c71def0a36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.917ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U_{1}+U_{2}+2\cdot a=U}" loading="lazy">, weil sich der Umfang aus dem Umfang des rechten und linken Teilbaums und der Länge der rechten und linken Seite des ersten Quadrats zusammensetzt. Weil der Pythagoras-Baum <a href="%C3%84hnlichkeit_(Geometrie)" title="Ähnlichkeit (Geometrie)">ähnlich</a> zum rechten und linken Teilbaum ist, gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U_{1}={\tfrac {a_{1}\cdot U}{a}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{1}={\tfrac {a_{1}\cdot U}{a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f698b358fd814d2bc161bcd6301d6b916a0f004.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.995ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle U_{1}={\tfrac {a_{1}\cdot U}{a}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U_{2}={\tfrac {a_{2}\cdot U}{a}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{2}={\tfrac {a_{2}\cdot U}{a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e888fa1e6bb7429dc18d1d2e5257b6a65673c8eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.995ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle U_{2}={\tfrac {a_{2}\cdot U}{a}}}" loading="lazy">. Daraus folgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {a_{1}\cdot U}{a}}+{\tfrac {a_{2}\cdot U}{a}}+2\cdot a=U}">

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {a_{1}\cdot U}{a}}+{\tfrac {a_{2}\cdot U}{a}}+2\cdot a=U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e74edb1f7080b13937ca9c8b392fc60e5f626a07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.144ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {a_{1}\cdot U}{a}}+{\tfrac {a_{2}\cdot U}{a}}+2\cdot a=U}" loading="lazy">, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{1}+a_{2})\cdot U+2\cdot a^{2}=a\cdot U}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{1}+a_{2})\cdot U+2\cdot a^{2}=a\cdot U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ae496cf132b1c3b8b52cf7e21e6421419b33515.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.435ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (a_{1}+a_{2})\cdot U+2\cdot a^{2}=a\cdot U}" loading="lazy">. Wegen der <a href="Dreiecksungleichung" title="Dreiecksungleichung">Dreiecksungleichung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}+a_{2}>a}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}+a_{2}>a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec977db9a20fd571294f0fb0b3ca61053114968d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.737ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{1}+a_{2}>a}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot a^{2}>0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot a^{2}>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17e4383e03cd60fab0367da90977efeab30f41f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.387ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot a^{2}>0}" loading="lazy"> kann diese <a href="Gleichung" title="Gleichung">Gleichung</a> für endliches <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> nicht gelten. Der Umfang des Pythagoras-Baums ist also <a href="Unendlichkeit" title="Unendlichkeit">unendlich</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rechter_und_linker_Ast">Rechter und linker Ast</h3></div>

Die Ecken der <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrate</a> des rechten und des linken Astes liegen jeweils auf einer <a href="Logarithmische_Spirale" title="Logarithmische Spirale">logarithmischen Spirale</a>. Der Endpunkt des rechten Astes hat den <a href="Abstand" title="Abstand">Abstand</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> zum Rasen und den Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {a_{1}}{a_{2}}}\cdot a=\tan(\alpha _{1})\cdot a}">

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {a_{1}}{a_{2}}}\cdot a=\tan(\alpha _{1})\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85cef158bf17600c9c5041104a75acfc5f2bad2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:19.164ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {a_{1}}{a_{2}}}\cdot a=\tan(\alpha _{1})\cdot a}" loading="lazy"> zum Stamm. Der Endpunkt des linken Astes hat den Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> zum Rasen und den Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {a_{2}}{a_{1}}}\cdot a=\tan(\alpha _{2})\cdot a}">

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {a_{2}}{a_{1}}}\cdot a=\tan(\alpha _{2})\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf96b9078b4ce96c06fbe1cc26df63a2ec631dc7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:19.164ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {a_{2}}{a_{1}}}\cdot a=\tan(\alpha _{2})\cdot a}" loading="lazy"> zum Stamm.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Höhe,_Breite_und_Abstand_zum_Rasen">Höhe, Breite und Abstand zum Rasen</h3></div>

Die folgende Tabelle zeigt die Höhe und Breite des Pythagoras-Baums und den <a href="Abstand" title="Abstand">Abstand</a> der ersten Blätter des rechten und linken Teilbaums zum Rasen (siehe <a class="mw-selflink-fragment" href="#Abstand_zum_Rasen">Abstand zum Rasen</a>) für bestimmte <a href="Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a> des <a href="Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">rechtwinkligen Dreiecks</a>:

<th>Innenwinkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d69430689b8aac2832684109cde587c4ae828d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.542ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{1}}" loading="lazy">

</th>

<th>Höhe

</th>

<th>Breite

</th>

<th>Abstand des rechten Teilbaums

</th>

<th>Abstand des linken Teilbaums

</th></tr>

<tr>

<td>45°

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d32b43704e719b409b83c71047f21aaa78f38444.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.071ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 4\cdot a}" loading="lazy">

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/729032d1a6bca0afbb194018a8a9773ddc604f63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.071ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 6\cdot a}" loading="lazy">

</td>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{4}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6811b11ce38d4a6b6a59acaec557fc23c839554.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:2.066ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a}{4}}}" loading="lazy">

</td>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{4}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6811b11ce38d4a6b6a59acaec557fc23c839554.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:2.066ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a}{4}}}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>30°

</td>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {17+3\cdot {\sqrt {3}}}{5}}\cdot a\approx 4{,}439\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c655a7380c73c3f4771d44aca16ca63a2ab8473.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:26.154ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {17+3\cdot {\sqrt {3}}}{5}}\cdot a\approx 4{,}439\cdot a}" loading="lazy">

</td>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {81+108\cdot {\sqrt {3}}}{40}}\cdot a\approx 6{,}702\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33e2099026eebb223805313e8add2a585ed63956.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:28.479ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {81+108\cdot {\sqrt {3}}}{40}}\cdot a\approx 6{,}702\cdot a}" loading="lazy">

</td>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {28-3\cdot {\sqrt {3}}}{40}}\cdot a\approx 0{,}570\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/670a28b6611cab2de961f949ab26696d719ef964.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:26.154ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {28-3\cdot {\sqrt {3}}}{40}}\cdot a\approx 0{,}570\cdot a}" loading="lazy">

</td>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {4+81\cdot {\sqrt {3}}}{320}}\cdot a\approx -0{,}451\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75e43c0c077bba57e24f679ddfa77be240bacfdf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:29.771ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle -{\frac {4+81\cdot {\sqrt {3}}}{320}}\cdot a\approx -0{,}451\cdot a}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>22,5°

</td>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {140+67\cdot {\sqrt {2}}}{47}}\cdot a\approx 4{,}995\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc9c3b81c68cea1d996a821ece8e8d0612413094.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:28.479ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {140+67\cdot {\sqrt {2}}}{47}}\cdot a\approx 4{,}995\cdot a}" loading="lazy">

</td>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1439+1065\cdot {\sqrt {2}}}{376}}\cdot a\approx 7{,}833\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b81839882c0fcda9f13ec15f5cccc5bbfd8ae30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:31.967ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1439+1065\cdot {\sqrt {2}}}{376}}\cdot a\approx 7{,}833\cdot a}" loading="lazy">

</td>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {32\cdot {\sqrt {2}}-11}{47}}\cdot a\approx 0{,}729\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21908c313bbb06beeb2fbb9a278d12c7b8b093e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:27.317ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {32\cdot {\sqrt {2}}-11}{47}}\cdot a\approx 0{,}729\cdot a}" loading="lazy">

</td>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {181+2255\cdot {\sqrt {2}}}{3008}}\cdot a\approx -1{,}120\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73f43a18d63803d0fc392b9df29cd3c2817430a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:34.42ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle -{\frac {181+2255\cdot {\sqrt {2}}}{3008}}\cdot a\approx -1{,}120\cdot a}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>15°

</td>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {11511+4795\cdot {\sqrt {3}}}{3201}}\cdot a\approx 6{,}191\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6fdce8fe7b9b4db7a0af55dc3a0e3143fe329bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:33.129ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {11511+4795\cdot {\sqrt {3}}}{3201}}\cdot a\approx 6{,}191\cdot a}" loading="lazy">

</td>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1087035+587320\cdot {\sqrt {3}}}{204864}}\cdot a\approx 10{,}272\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3dbb79d441ba47b5144412083ea2224f25191931.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:38.941ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1087035+587320\cdot {\sqrt {3}}}{204864}}\cdot a\approx 10{,}272\cdot a}" loading="lazy">

</td>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {45495-20506\cdot {\sqrt {3}}}{12804}}\cdot a\approx 0{,}779\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a7e5d0b60b05b419d699f015aaa5445f1421dbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:34.291ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {45495-20506\cdot {\sqrt {3}}}{12804}}\cdot a\approx 0{,}779\cdot a}" loading="lazy">

</td>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {9335814+12959845\cdot {\sqrt {3}}}{13111296}}\cdot a\approx -2{,}424\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3ed539509275a10dddfc6b399525fdab627a10c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:43.72ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle -{\frac {9335814+12959845\cdot {\sqrt {3}}}{13111296}}\cdot a\approx -2{,}424\cdot a}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table>

Die Höhe und Breite ist desto größer, der <a href="Abstand" title="Abstand">Abstand</a> des rechten Teilbaums desto größer und der Abstand des linken Teilbaums desto kleiner, je größer die <a href="Differenz_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Differenz (Mathematik)">Differenz</a> der <a href="Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d69430689b8aac2832684109cde587c4ae828d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.542ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aef5f08a56f51deb324e5eed2fb9b2e3c279889d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.542ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{2}}" loading="lazy"> ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Der Pythagoras-Baum wurde zuerst von Albert E. Bosman (1891–1961) konstruiert, einem <a href="Niederl%C3%A4nder" title="Niederländer">niederländischen</a> Mathematiklehrer, im Jahre 1942.<a href="#cite_note-3">[3]</a><a href="#cite_note-4">[4]</a><a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weitere_Formen">Weitere Formen</h2></div>

Da so ein Baum, der streng nach dem <a href="Satz_des_Pythagoras" title="Satz des Pythagoras">Satz des Pythagoras</a> erzeugt wurde, sehr unnatürlich aussieht, kann natürlich auch von der Urform abgewichen werden.

<td width="50%"> Pythagoras-Baum:

<ul><li>Rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke</li>

<li>Verschiedene Farben</li></ul>

</td>

<td> Fraktal-Baum:

<ul><li>Freier Winkel</li>

<li>Keine Quadrate</li></ul>

</td></tr>

<tr>

<td> Pythagoras-Baum:

<ul><li>Rechtwinklige Dreiecke</li>

<li>Verschiedene Farben</li></ul>

</td>

<td> Pythagoras-Baum:

<ul><li>Keine rechtwinkligen Dreiecke</li>

<li>Verschiedene Farben</li></ul>

</td></tr>

<tr>

<td> Pythagoras-Baum:

<ul><li>Zufällige Stammlängen und zufällige Stammteilungsverhältnisse</li>

<li>Rechtwinklige Dreiecke</li>

<li>Verschiedene Farben</li></ul>

</td>

<td> Pythagoras-Baum:

<ul><li>Gleichschenklige Dreiecke</li>

<li>Rechtwinklige Dreiecke</li>

<li>Verschiedene Farben</li></ul>

</td></tr>

<tr>

<td> Pythagoras-Baum

</td>

<td> SW Pythagoras-Baum

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Programmierung">Programmierung</h2></div>

Der Pythagoras-Baum lässt sich <a href="Rekursive_Programmierung" title="Rekursive Programmierung">rekursiv</a> auf einfache Weise implementieren. Das folgende Beispiel zeigt eine Implementierung in der <a href="Programmiersprache" title="Programmiersprache">Programmiersprache</a> <a href="C-Sharp" title="C-Sharp">C#</a>.<a href="#cite_note-6">[6]</a><div class="mw-highlight mw-highlight-lang-c# mw-content-ltr" dir="ltr"><pre>using System.Windows.Forms;

public class MainForm : System.Windows.Forms.Form

{

private Graphics graphics;

public MainForm()

{

InitializeComponent();

Text = "Pythagoras-Baum";

Width = 800;

Height = 600;

graphics = CreateGraphics(); // Erzeugt ein Grafikobjekt für das Zeichnen auf dem Hauptfenster.

Paint += OnPaint; // Verknüpft die Ereignisbehandlungsmethode mit dem Paint Ereignis des Hauptfensters.

}

private void OnPaint(object sender, PaintEventArgs e)

{

float q = (float) Math.Tan(Math.PI / 3);

float minimaleLänge = (float) 0.1;

Color farbe = Color.FromArgb(255, 0, 0);

ZeichnePythagorasBaum(350, 400, 400, 400, q, minimaleLänge, farbe); // Aufruf der Methode mit minimaler Länge 0.1

}

// Diese Methode wird aufgerufen, wenn das Hauptfenster gezeichnet wird. Sie enthält 2 rekursive Aufrufe.

private void ZeichnePythagorasBaum(float x1, float y1, float x2, float y2, float q, float minimaleLänge, Color farbe)

{

// Wenn maximale Rekursionstiefe erreicht, dann Koordinaten setzen und gleichseitiges Dreiecks ausfüllen

float x = x1 - x2;

float y = y1 - y2;

if (x * x + y * y >= minimaleLänge * minimaleLänge) // Wenn Seitenlänge größer oder gleich minimale Länge, dann Quadrat und rechtwinkliges Dreieck ausfüllen

{

float a = q * q;

float b = q * q + 1;

float c = q * q + q + 1;

float x3 = x2 - y1 + y2; // 3. Ecke des Quadrats, 1. Ecke des Dreiecks

float y3 = x1 - x2 + y2;

float x4 = x1 - y1 + y2; // 4. Ecke des Quadrats, 2. Ecke des Dreiecks

float y4 = x1 - x2 + y1;

float x5 = (a * x1 + x2 - c * (y1 - y2)) / b; // 3. Ecke des Dreiecks

float y5 = (c * (x1 - x2) + a * y1 + y2) / b;

// Definiert Farben mit RGB-Werten.

Color rot = Color.FromArgb(255, 0, 0), grün = Color.FromArgb(0, 255, 0), blau = Color.FromArgb(0, 0, 255);

// Quadrat und rechtwinkliges Dreieck ausfüllen

PointF[] quadrat = new PointF[]{new PointF(x1, y1), new PointF(x2, y2), new PointF(x3, y3), new PointF(x4, y4)};

graphics.FillPolygon(new SolidBrush(farbe), quadrat);

PointF[] dreieck = new PointF[]{new PointF(x4, y4), new PointF(x3, y3), new PointF(x5, y5)};

graphics.FillPolygon(new SolidBrush(grün), dreieck);

// Rekursive Aufrufe der Methode für den linken und rechten Teilbaum.

ZeichnePythagorasBaum(x4, y4, x5, y5, q, minimaleLänge, rot);

ZeichnePythagorasBaum(x5, y5, x3, y3, q, minimaleLänge, blau);

}

}

</pre></div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Satz_des_Pythagoras" title="Satz des Pythagoras">Satz des Pythagoras</a></li>

<li><a href="Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">Rechtwinkliges Dreieck</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Pythagoras_tree?uselang=de">Commons: Pythagoras-Baum</a> – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.pohlig.de/Unterricht/Inf2003/Tag18/14.5_Pythagorasbaum.htm">Programmier-Beschreibung</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.brefeld.homepage.t-online.de/pythagorasbaum.html">Besondere Pythagorasbäume</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://samu.github.io/pythagoras-tree/">Generator mit Code</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.geogebra.org/m/VU4SUVUp">Animation</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://onlinemathtools.com/generate-pythagoras-tree">Generator</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-:0-1">↑ <a href="#cite_ref-:0_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-:0_1-1">b</a> Larry Riddle, Agnes Scott College: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://larryriddle.agnesscott.org/ifs/pythagorean/pythTree.htm">Pythagorean Tree</a>

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Larry Riddle, Agnes Scott College: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://larryriddle.agnesscott.org/ifs/pythagorean/spiral.htm">Pythagorean Tree Spirals</a>

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=32367&j=2005">http://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=32367&j=2005</a>

</li>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20090118100209/http://www.arsetmathesis.nl/bruno0402.htm">Archivierte Kopie</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 18. Januar 2009 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>)

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20170101160242/http://www.mathedidaktik.uni-koeln.de/fileadmin/matheseminarfiles/Formulare/material_matheturnier/Der_Baum_des_Pythagoras.pdf">Archivierte Kopie</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 1. Januar 2017 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>)

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<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Rosetta Code: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://rosettacode.org/wiki/Pythagoras_tree">Pythagoras tree</a>

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